உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• உதவிக்குறிப்புகள்

பைனோமியல்கள் என்பது ஒரு மாறிலி (x, a, 3x, 4t, 1090y) ஒரு நிலையான (1, 3, 110, முதலியன) சேர்க்கப்பட்ட அல்லது கழிக்கப்பட்ட சிறிய கணித வெளிப்பாடுகள் ஆகும். பைனோமியல்கள் எப்போதுமே இரண்டு சொற்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும், ஆனால் அவை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எனப்படும் மிகப் பெரிய மற்றும் சிக்கலான சமன்பாடுகளின் கூறுகளாக இருக்கின்றன, இதனால் இந்த கற்றல் மிகவும் முக்கியமானது. இந்த கட்டுரை பல்வேறு வகையான இருமைப் பெருக்கங்களைப் பற்றி பேசும், ஆனால் அவை தனித்தனியாகவும் கற்றுக்கொள்ளப்படலாம்.

படிகள்

3 இன் முறை 1: இரண்டு பைனோமியல்களைப் பெருக்குதல்

1. 

   கணித சொல்லகராதி மற்றும் கேள்வி வகைகளைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். உங்கள் அடுத்த தேர்வுக்கான கேள்விகளை அவர்கள் என்ன கேட்கிறார்கள் என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால் அவற்றைத் தீர்ப்பது சாத்தியமில்லை. அதிர்ஷ்டவசமாக, சொல் மிகவும் எளிதானது:
   • விதிமுறை: ஒரு சொல் வெறுமனே சேர்க்கப்படும் அல்லது கழிக்கப்படும் சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியாகும். இது ஒரு மாறிலி, மாறி அல்லது இரண்டாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 12 + 13x + 4x இல், சொற்கள் உள்ளன 12,13 எக்ஸ், மற்றும் 4 எக்ஸ்.
   • இருவகை: இது "இரண்டு சொற்களைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு" என்று சொல்வதற்கான ஒரு சிக்கலான வழியாகும் x + 3 அல்லது x - 3x.
   • அதிகாரங்கள்: இது ஒரு வார்த்தையின் அடுக்கைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, x "x is" என்று நீங்கள் கூறலாம் இரண்டாவது சக்தி அல்லது இரண்டாக உயர்த்தப்பட்டது.’
   • "இரண்டு பைனோமியல்களின் (x + 3) (x + 2)," "இரண்டு பைனோமியல்களின் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடி" அல்லது "இரண்டு பைனோமியல்களை விரிவாக்கு" என்ற கேள்விகளைக் கேட்கும் எந்த கேள்வியும் இரண்டு பைனோமியல்களைப் பெருக்குமாறு கேட்கிறது.

2. 

   
   
   இருமடங்கு பெருக்கத்தின் வரிசையை நினைவில் கொள்ள FOIL என்ற சுருக்கத்தை அறிக. FOIL என்பது இரண்டு பைனோமியல்களின் பெருக்கத்தை வழிநடத்த ஒரு ஆங்கில முறையாகும். FOIL என்பது நீங்கள் பைனோமியல்களின் பகுதிகளை பெருக்க வேண்டிய வரிசையை குறிக்கிறது: F என்றால் முதலில் (முதல்), ஓ வெளியே (வெளியில் இருந்து), அதாவது உள் (உள்ளே இருந்து) மற்றும் எல் என்பது கடந்த (கடைசியாக) - முதலில் வெளியில் இருப்பவர்கள், பின்னர் உள்ளே இருப்பவர்கள். பெயர்கள் சொற்கள் எழுதப்பட்ட வரிசையைக் குறிக்கின்றன. நீங்கள் பைனோமியல்களை (x + 2) மற்றும் (x + 5) பெருக்குகிறீர்கள் என்று சொல்லலாம். விதிமுறைகள்:
   • முதல்: x & x
   • வெளி: x & 5
   • உள்: 2 & x
   • கடந்த: 2 & 5

3. 

   
   
   ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிப்பிலும் முதல் பகுதியைப் பெருக்கவும். இது FOIL க்கான “F” ஆகும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், (x + 2) (x + 5), முதல் சொற்கள் “x” மற்றும் “x”. அவற்றைப் பெருக்கி, பதிலை எழுதுங்கள்: "x."
   • முதல் விதிமுறைகள்: x * x = x

4. 

   ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிப்பின் வெளிப்புற பகுதிகளையும் பெருக்கவும். இவை எங்கள் பிரச்சினையின் மிக வெளிப்புற “உதவிக்குறிப்புகள்”. எனவே, எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் (x + 2) (x + 5), இந்த உதவிக்குறிப்புகள் "x" மற்றும் "5" ஆக இருக்கும் ஒன்றாக, அவை "5x" இல் விளைகின்றன
   • வெளியே சொற்கள்: x * 5 = 5x

5. 

   
   
   ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிப்பிலும் WITHIN இன் பகுதிகளை பெருக்கவும். மையத்திற்கு மிக அருகில் இருக்கும் இரண்டு எண்கள் உள்ளே இருக்கும் சொல்லாக இருக்கும். (X + 2) (x + 5) இல், "2x" ஐப் பெற நீங்கள் "2" ஐ "x" ஆல் பெருக்க வேண்டும் என்பதாகும்.
   • உட்புற சொற்கள்: 2 * x = 2x

6. 

   ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிப்பின் கடைசி பகுதிகளையும் பெருக்கவும். இது இல்லை கடைசி இரண்டு எண்களைக் குறிக்கிறது, ஆனால் ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிப்பிலும் கடைசி எண். எனவே, (x + 2) (x + 5) இல், "10" ஐப் பெற "2" மற்றும் "5" ஐ பெருக்கவும்.
   • கடைசி விதிமுறைகள்: 2 * 5 = 10

7. 

   எல்லா விதிமுறைகளையும் சேர்க்கவும். புதிய மற்றும் பெரிய வெளிப்பாட்டை உருவாக்க விதிமுறைகளை ஒன்றிணைத்து அவற்றை இணைக்கவும். முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
   • x + 5x + 2x + 10

8. 

   விதிமுறைகளை எளிதாக்குங்கள். ஒத்த சொற்கள் ஒரே மாறி மற்றும் சக்தியைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டின் பகுதிகள். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 2x மற்றும் 5x ஆகிய சொற்கள் x ஐப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, அவற்றை ஒன்றாகச் சேர்க்கலாம். இனி இதேபோன்ற சொல் இல்லை, எனவே அவை தீண்டத்தகாதவை.
   • இறுதி பதில்: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
   • மேம்பட்ட குறிப்பு: ஒத்த சொற்கள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை அறிய, பெருக்கலின் அடிப்படைகளை நினைவில் கொள்க. 3 * 5, எடுத்துக்காட்டாக, 15 (5 + 5 + 5) பெற ஐந்து மூன்று முறைகளைச் சேர்க்கிறீர்கள் என்று பொருள். எங்கள் சமன்பாட்டில், நமக்கு 5 * x (x + x + x + x + x) மற்றும் 2 * x (x + x) உள்ளன. சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து "x" களையும் சேர்த்தால், நமக்கு ஏழு "x" கள் அல்லது 7x கிடைக்கும்.

9. 

   கழிக்கப்படும் எண்கள் எதிர்மறையானவை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஒரு எண்ணைக் கழிக்கும்போது, ​​அது எதிர்மறை எண்ணைச் சேர்ப்பதற்கு சமம். கழித்தல் அடையாளத்தை கணக்கீடுகளில் வைக்க மறந்துவிட்டால், நீங்கள் தவறான பதிலுடன் முடிவடையும். உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (x + 3) (x-2):
   • முதல்: x * x = x
   • வெளியே: x * -2 = -2 எக்ஸ்
   • உள்ளே இருந்து: 3 * x = 3x
   • சமீபத்தியது: 3 * -2 = -6
   • எல்லா விதிமுறைகளையும் சேர்க்கவும்: x - 2x + 3x - 6
   • பதிலை எளிதாக்குங்கள்:x + x - 6

3 இன் முறை 2: இரண்டு பைனோமியல்களுக்கு மேல் பெருக்கல்

1. 

   முதல் இரண்டு பைனோமியல்களை பெருக்கி, தற்காலிகமாக மூன்றாவது புறக்கணிக்கவும். உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (x + 4) (x + 1) (x + 3). நாம் ஒரு நேரத்தில் ஒரு இருபக்கத்தை பெருக்க வேண்டும், எனவே இரண்டை FOIL அல்லது கால விநியோகத்துடன் பெருக்க வேண்டும். முதல் இரண்டை, (x + 4) மற்றும் (x + 1), FOIL உடன் பெருக்குவது பின்வருமாறு:
   • முதல்: x * x = x
   • வெளியே: 1 * x = x
   • உள்ளே இருந்து: 4 * x = 4x
   • சமீபத்தியது: 1*4 = 4
   • விதிமுறைகளை இணைக்கவும்: x + x + 4x + 4
   • (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4

2. 

   மீதமுள்ள இருவகைகளை புதிய சமன்பாட்டுடன் இணைக்கவும். இப்போது சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதி பெருக்கப்பட்டுள்ளது, மீதமுள்ள இருவகையை நீங்கள் சமாளிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டில் (x + 4) (x + 1) (x + 3), மீதமுள்ள சொல் (x + 3). புதிய சமன்பாட்டுடன் இதை ஒன்றாக இணைக்கவும்: (x + 3) (x + 5x + 4).

3. 

   பைனமியலில் முதல் எண்ணை மற்ற அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மூன்று எண்களால் பெருக்கவும். இது விதிமுறைகளின் விநியோகம் பற்றியது. எனவே, சமன்பாட்டில் (x + 3) (x + 5x + 4), நீங்கள் முதல் x ஐ இரண்டாவது அடைப்புக்குறிப்பின் மூன்று பகுதிகளான "x," "5x," மற்றும் "4" ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
   • (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
   • அந்த பதிலை எழுதி பின்னர் சேமிக்கவும்.

4. 

   மற்ற அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மூன்று எண்களால் பைனோமியலில் இரண்டாவது எண்ணைப் பெருக்கவும். (X + 3) (x + 5x + 4) சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இப்போது, ​​"x," "5x," மற்றும் "4" ஆகிய மற்ற அடைப்புக்குறிகளின் மூன்று பகுதிகளாலும் பைனோமியலின் இரண்டாம் பகுதியை பெருக்கவும்.
   • (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
   • இந்த பதிலை முதல்வருக்கு நெருக்கமாக எழுதுங்கள்.

5. 

   பெருக்கத்தின் இரண்டு தயாரிப்புகளையும் சேர்க்கவும். முந்தைய இரண்டு படிகளிலிருந்து நீங்கள் பதில்களை இணைக்க வேண்டும், ஏனெனில் அவை உங்கள் இறுதி பதிலின் இரண்டு பகுதிகளை உருவாக்குகின்றன.
   • x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12

6. 

   இறுதி பதிலைப் பெற சமன்பாட்டை எளிதாக்குங்கள். எந்தவொரு "ஒத்த" கால, அல்லது ஒரே மாறி மற்றும் சக்தியைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் சொற்கள் (5x மற்றும் 3x போன்றவை), பதிலை எளிமையாக்க சேர்க்கலாம்.
   • 5x மற்றும் 3x வடிவம் 8x
   • 4x மற்றும் 15x 19x ஐ உருவாக்குகின்றன
   • (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12

7. 

   பெரிய பெருக்கல் சிக்கல்களை தீர்க்க எப்போதும் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தவும். எந்தவொரு நீளத்தின் சமன்பாடுகளையும் பெருக்க நீங்கள் கால விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதால், (x + 1) (x + 2) (x + 3) போன்ற பெரிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களுக்கு தேவையான கருவிகள் இப்போது உங்களிடம் உள்ளன. கால விநியோகம் அல்லது FOIL ஐப் பயன்படுத்தி இரண்டு பைனோமியல்களைப் பெருக்கி, பின்னர் இறுதி இருவகையை முதல் இரண்டோடு பெருக்க கால விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தவும். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், நாம் FOIL (x + 1) (x + 2) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், பின்னர் இறுதி பதிலைப் பெற (x + 3) உடன் சொற்களை விநியோகிக்கிறோம்:
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
   • (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
   • (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
   • பதிலை எளிதாக்குங்கள்:x + 6x + 11x + 6

3 இன் முறை 3: ஸ்கொயரிங் பைனோமியல்கள்

1. 

   “பொது சூத்திரங்களை” எவ்வாறு ஒழுங்கமைப்பது என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். ஒவ்வொரு முறையும் FOIL ஐக் கணக்கிடுவதற்குப் பதிலாக எண்களை வெறுமனே பொருத்த பொது சூத்திரங்கள் உங்களை அனுமதிக்கின்றன. (X + 2) போன்ற இரண்டாவது சக்திக்கு (அல்லது சதுரத்திற்கு) அல்லது (4y + 12) போன்ற மூன்றாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்படும் பைனோமியல்களை முன்பே இருக்கும் சூத்திரத்தில் எளிதாகப் பொருத்தி, தீர்மானத்தை விரைவாகவும், எளிதானது. பொதுவான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, எல்லா எண்களையும் மாறிகளுடன் மாற்றுவோம். பின்னர், இறுதியில், எண்களை மீண்டும் பதிலில் வைக்கலாம். சமன்பாடு (a + b) உடன் தொடங்கவும், எங்கே:
   • தி என்பது மாறி காலமாகும் (என 4y - 1, 2x + 3, முதலியன). எண் இல்லை என்றால், 1 * x = x என்பதால் a = 1.
   • பி மாறிலி சேர்க்கப்படுவது அல்லது கழிப்பது (x + போன்றது) 10, டி - 12).

2. 

   எந்த ஸ்கொயர் பைனோமியல்களை மீண்டும் எழுத முடியும் என்பதைக் கண்டறியவும். (a + b) எங்கள் முந்தைய உதாரணத்தை விட சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் அதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் ஒரு எண்ணை ஸ்கொயர் செய்வது தானாகவே பெருக்குகிறது. எனவே சமன்பாட்டை மிகவும் பழக்கமாக மாற்ற நீங்கள் மீண்டும் எழுதலாம்:
   • (a + b) = (a + b) (a + b)

3. 

   புதிய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க FOIL முறையைப் பயன்படுத்தவும். இந்த சமன்பாட்டில் நாம் FOIL ஐப் பயன்படுத்தினால், எந்தவொரு இருவகை பெருக்கத்திற்கும் தீர்வு போல ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். பெருக்கலில், காரணிகளின் வரிசை முடிவை மாற்றாது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
   • (A + b) (a + b) என மீண்டும் எழுதவும்.
   • முதல்: a * a = a
   • உள்ளே இருந்து: b * a = பா
   • வெளியே: a * b = ab
   • சமீபத்தியது: b * b = b.
   • புதிய சொற்களைச் சேர்க்கவும்: a + ba + ab + b
   • ஒத்த சொற்களை இணைக்கவும்: a + 2ab + b
   • மேம்பட்ட குறிப்பு: பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு பண்புகள் அடுக்குக்கு வேலை செய்யாது. (a + b) + b க்கு சமமானதல்ல. இது மக்கள் செய்யும் பொதுவான தவறு.

4. 

   உங்கள் சிக்கல்களைத் தீர்க்க + 2ab + b என்ற பொது சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும். சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (x + 2). மீண்டும் FOIL ஐப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, முதல் வார்த்தையை “a” மற்றும் இரண்டாவது சொல்லை “b” இல் பொருத்தலாம்:
   • பொது சமன்பாடு: a + 2ab + b
   • a = x, b = 2
   • x + (2 * x * 2) + 2
   • இறுதி பதில்: x + 4x + 4.
   • அசல் சமன்பாட்டில் (x + 2) (x + 2) FOIL செய்வதன் மூலம் உங்கள் கணக்கீடுகளை நீங்கள் எப்போதும் சரிபார்க்கலாம். கணக்கீடு சரியாக செய்யப்பட்டால் நீங்கள் எப்போதும் ஒரே பதிலைப் பெறுவீர்கள்.
   • ஒரு சொல் கழிக்கப்பட்டால், பொது சமன்பாட்டில் அதை எதிர்மறையாக வைத்திருப்பது இன்னும் அவசியம்.

5. 

   முழுச் சொல்லையும் பொதுச் சமன்பாட்டில் செருக நினைவில் கொள்ளுங்கள். பைனோமியல் (2x + 3) கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு = 2x, ஒரு = 2 மட்டுமல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். உங்களுக்கு மிகவும் சிக்கலான சொற்கள் இருக்கும்போது, ​​2 மற்றும் x இரண்டும் ஸ்கொயர் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம்.
   • பொது சமன்பாடு: a + 2ab + b
   • A மற்றும் b ஐ மாற்றவும்: (2x) + 2 (2x) (3) + 3
   • ஒவ்வொரு காலத்தையும் குவார்டடோவுக்கு உயர்த்தவும்: (2) (x) + 14x + 3
   • பதிலை எளிதாக்குங்கள்: 4x + 14x + 9

உதவிக்குறிப்புகள்

• இருவகைகள் பெரிதாகும்போது, ​​நீங்கள் பைனோமியல் விரிவாக்கம் எனப்படும் மிகவும் சிக்கலான தேற்றத்தைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்.