உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• உதவிக்குறிப்புகள்

கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் கிராபிக்ஸ் புரோகிராமர்கள் பெரும்பாலும் இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதிர்ஷ்டவசமாக, இந்த கோணத்தைக் கணக்கிடப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரத்திற்கு எளிய அளவிடல் தயாரிப்பு தவிர வேறு எதுவும் தேவையில்லை. இரு பரிமாண திசையன்களைப் பயன்படுத்தும் போது இந்த சூத்திரத்தின் பின்னால் உள்ள பகுத்தறிவைப் புரிந்துகொள்வது எளிதானது என்றாலும், எந்தவொரு கூறுகளையும் கொண்ட திசையன்களுடன் அதை எளிதாக மாற்றியமைக்கலாம்.

படிகள்

2 இன் பகுதி 1: இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுங்கள்

1. 

   இரண்டு திசையன்களை அடையாளம் காணவும். இரண்டு திசையன்கள் பற்றி அறியப்பட்ட அனைத்து தகவல்களையும் எழுதுங்கள். இந்த டுடோரியலின் நோக்கத்திற்காக, திசையன்கள் அவற்றின் பரிமாண ஆயத்தொகுதிகளின் அடிப்படையில் மட்டுமே உங்களுக்குத் தெரியும் என்று நாங்கள் கருதுவோம் (இது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது கூறுகள்). நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருந்தால் தொகுதி அல்லது தரநிலை இந்த திசையன்களில் (அதாவது அவற்றின் நீளம்), கீழே உள்ள சில படிகளை நீங்கள் தவிர்க்கலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டு: இரு பரிமாண திசையன்கள் = (2,2) மற்றும் = (0,3) ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த இரண்டு திசையன்களையும் = 2 என மீண்டும் எழுதலாம்நான் + 2j e = 0நான் + 3j = 3j.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டு இரண்டு இரு பரிமாண திசையன்களைப் பயன்படுத்துகிறது என்றாலும், எந்தவொரு கூறுகளையும் கொண்ட திசையன்களுக்கு பின்வரும் வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

2. 

   
   
   கொசைன் சூத்திரத்தை எழுதுங்கள். எந்த இரண்டு திசையன்களுக்கும் இடையில் கோணத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க, முதலில் அந்த கோணத்தின் கொசைனைக் கணக்கிட வேண்டும். நீங்கள் சூத்திரத்தை விரிவாகத் தேடலாம் அல்லது கண்டுபிடிக்கலாம் அல்லது கீழே உள்ளதைப் போல எழுதலாம்:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| குறிக்கிறது தொகுதி (அல்லது நீளம்) திசையன் ".
   • • குறிக்கிறது அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு (அல்லது உள் தயாரிப்பு) இரண்டு திசையன்களின்.

3. 

   
   
   ஒவ்வொரு திசையனின் மாடுலஸைக் கணக்கிடுங்கள். கூறு உருவாக்கிய ஒரு சரியான முக்கோணத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள் எக்ஸ் ஒரு திசையன், அதன் கூறு y மற்றும் திசையன் தானே. இந்த முக்கோணத்தில், திசையன் ஹைப்போடென்ஸின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது; எனவே, அதன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இதன் விளைவாக, இந்த சூத்திரம் எந்தவொரு கூறுகளையும் கொண்ட திசையன்களுக்கு எளிதில் பொருந்தும்.
   • || u || = யு₁ + u₂. திசையன் இரண்டு கூறுகளுக்கு மேல் இருந்தால், தொடர்ந்து + u ஐ சேர்க்கவும்₃ + u₄ +...
   • எனவே, இரு பரிமாண திசையனுக்கு, நாம் செய்ய வேண்டியிருக்கும் || u || = √ (யு₁ + u₂).
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையில் அளவிடக்கூடிய உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள். திசையன்களைப் பெருக்கும் முறையை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்க வேண்டும் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு. இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை அவற்றின் கூறுகளின் அடிப்படையில் கணக்கிட, கூறுகளை ஒரே திசையில் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கி, பின்னர் அந்த தயாரிப்புகளின் முடிவுகளைச் சேர்க்கிறோம்.
   • நீங்கள் கணினி கிராபிக்ஸ் நிரல்களுடன் பணிபுரிந்தால், தொடர முன் "உதவிக்குறிப்புகள்" பகுதியைப் பார்வையிடவும்.
   • கணித அடிப்படையில், • = u₁v₁ + u₂v₂, எங்கே u = (u₁, யு₂). உங்கள் திசையன் இரண்டு கூறுகளுக்கு மேல் இருந்தால், தொடர்ந்து + u ஐச் சேர்க்கவும்₃v₃ + u₄v₄...
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. இது திசையன்களுக்கும் இடையேயான அளவீட்டு உற்பத்தியின் மதிப்பு.

5. 

   இந்த முடிவுகளை கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றவும். நினைவில் கொள்ளுங்கள், cosθ = (•) / (|||| || ||). நாங்கள் ஏற்கனவே அளவிடல் தயாரிப்பு மற்றும் இரண்டு திசையன்களின் தொகுதியைக் கணக்கிட்டுள்ளோம். இப்போது, ​​இந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றி கோணத்தின் கொசைனைக் கணக்கிடுவோம்.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   உங்கள் கொசைனை அடிப்படையாகக் கொண்ட கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
   உங்கள் கொசைன் மதிப்பிலிருந்து angle கோணத்தை தீர்மானிக்க உங்கள் கால்குலேட்டரின் வில் அல்லது காஸ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும். சில சந்தர்ப்பங்களில், அலகு வட்டத்தின் அடிப்படையில் கோண மதிப்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியும்.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், cosθ = √2 / 2. கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க உங்கள் கால்குலேட்டரில் "ஆர்கோஸ் (√2 / 2)" எனத் தட்டச்சு செய்க. Cosθ = √2 / 2 இருக்கும் அலகு வட்டத்தின் angle கோணத்தைத் தேடுவது மற்றொரு விருப்பமாகும்: இது உண்மையாக இருக்கும் θ = /₄ அல்லது 45 °.
   • எல்லா தகவல்களையும் ஒன்றாக இணைத்தால், இறுதி சூத்திரம் have = ஆர்கோசின் ((•) / (|||| || ||))

பகுதி 2 இன் 2: கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை வரையறுத்தல்

1. 

   சூத்திரத்தின் நோக்கத்தைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிட நாங்கள் பயன்படுத்திய சூத்திரம் முன்பே இருக்கும் விதிகளிலிருந்து பெறப்படவில்லை; அதற்கு பதிலாக, இது இரண்டு திசையன்களுக்கும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திற்கும் இடையிலான அளவிடல் தயாரிப்புக்கான வரையறையாக உருவாக்கப்பட்டது. இருப்பினும், இந்த முடிவு தன்னிச்சையானது அல்ல. அடிப்படை வடிவவியலை உற்று நோக்கினால், இந்த சூத்திரம் ஏன் இத்தகைய பயனுள்ள மற்றும் உள்ளுணர்வு வரையறைகளை விளைவிக்கிறது என்பதைக் காணலாம்.
   • பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் இரு பரிமாண திசையன்களைப் பயன்படுத்துகின்றன, ஏனெனில் அவை வேலை செய்ய மிகவும் உள்ளுணர்வு வகை. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களின் திசையன்கள் அவற்றின் பண்புகள் பொது சூத்திரத்திலிருந்து வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன (மிகவும் ஒத்த வழியில்).

2. 

   கொசைன் சட்டத்தை மதிப்பாய்வு செய்யவும். எந்த முக்கோணத்திலும், பக்கங்களால் உருவான கோணத்தைக் கவனியுங்கள் தி மற்றும் பி மற்றும் பக்க ç அந்த கோணத்திற்கு எதிரே. கொசைன் சட்டத்தின்படி, c = a + b -2abஇடுப்புப் பட்டை(). இந்த சூத்திரத்தின் ஆர்ப்பாட்டம் அடிப்படை வடிவவியலின் அறிவிலிருந்து எளிதாகப் பெறலாம்.

3. 

   ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்க இரண்டு திசையன்களை இணைக்கவும். ஒரு ஜோடி திசையன்களை வரையவும், அவற்றுக்கு இடையில் ஒரு கோணத்துடன். பின்னர், ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்க அவர்களுக்கு இடையே மூன்றாவது திசையன் வரையவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், + =, அல்லது வெறுமனே = - போன்ற திசையனை வரையவும்.

4. 

   இந்த முக்கோணத்திற்கு கொசைன் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துங்கள். எங்கள் பக்கங்களின் நீளத்தை மாற்றவும் திசையன் முக்கோணம் (அதாவது, திசையன் தொகுதி) கொசைன் சட்டத்திற்கான சூத்திரத்தில்:
   • || (அ - ஆ) || = || அ || + || ப || - 2 || அ || || ப ||இடுப்புப் பட்டை(θ)

5. 

   அளவிடுதல் தயாரிப்புகளைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதவும். புள்ளி தயாரிப்பு என்பது ஒரு திசையன் மற்றொன்றில் திட்டமிடப்பட்ட விரிவாக்கம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். திசையனின் அளவிடுதல் தயாரிப்புக்கு திட்டமிடல் தேவையில்லை, ஏனெனில் திசையில் எந்த மாற்றமும் இல்லை. இதன் பொருள் • = || அ || இந்த தகவலின் அடிப்படையில், கொசைன் சட்டத்தின் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || அ || || ப ||இடுப்புப் பட்டை(θ)

6. 

   சூத்திரத்தை எளிதாக்குங்கள். சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள தயாரிப்புகளை விரிவுபடுத்தி, கோணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு எங்களுக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் அடையும் வரை அதை எளிதாக்குங்கள்.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || அ || || ப ||இடுப்புப் பட்டை(θ)
   • - • - • = -2 || அ || || ப ||இடுப்புப் பட்டை(θ)
   • -2 (•) = -2 || அ || || ப ||இடுப்புப் பட்டை(θ)
   • • = || அ || || ப ||இடுப்புப் பட்டை(θ)

உதவிக்குறிப்புகள்

• விரைவான தீர்மானத்திற்கு, எந்த இரு பரிமாண திசையன் ஜோடிக்கும் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (யு₁ • u₂) • √ (வி₁ • v₂)).
• நீங்கள் கணினி கிராபிக்ஸ் நிரல்களுடன் பணிபுரிந்தால், நீங்கள் பெரும்பாலும் திசையன்களின் திசையை மட்டுமே தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், அவற்றின் நீளம் அல்ல. சமன்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தவும், உங்கள் நிரலை விரைவுபடுத்தவும் கீழே உள்ள படிகளைப் பின்பற்றவும்:
  • ஒவ்வொரு திசையனையும் இயல்பாக்குங்கள், அதாவது அசல் திசையனின் அதே திசையைக் கொண்ட அலகு திசையனைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, திசையனின் ஒவ்வொரு கூறுகளையும் திசையன் தொகுதி மூலம் பிரிக்கவும்.
  • அசல் திசையன்கள் அல்ல, இயல்பாக்கப்பட்ட திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள்.
  • இயல்பாக்கப்பட்ட திசையன்களின் மட்டு (அதாவது நீளம்) ஒற்றுமையாக இருப்பதால், அவற்றை நாம் சூத்திரத்திலிருந்து வெளியேறலாம். கோணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான உங்கள் இறுதி சமன்பாடு வளைவுகள் (•) ஆக இருக்கும்.
• கொசைன் சட்டத்தின் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், கேள்விக்குரிய கோணம் கடுமையானதா அல்லது முழுமையானதா என்பதை விரைவாகக் கண்டறியலாம். Cosθ = (•) / (|||| ||||) உடன் தொடங்குங்கள்:
  • சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் ஒரே அடையாளம் இருக்க வேண்டும் (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை).
  • நீளம் எப்போதும் நேர்மறையானதாக இருப்பதால், கோஸ் எப்போதும் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்புக்கு ஒத்த அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கும்.
  • எனவே, அளவிடுதல் தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருந்தால், cosθ நேர்மறையாக இருக்கும். இதன் பொருள் கோணம் அலகு வட்டத்தின் முதல் நால்வரில் உள்ளது, அதாவது θ <π / 2 அல்லது 90 °. எனவே, கோணம் கடுமையானது.
  • அளவிடுதல் தயாரிப்பு எதிர்மறையாக இருந்தால், cosθ எதிர்மறையானது. இதன் பொருள் கோணம் அலகு வட்டத்தின் இரண்டாவது நால்வரில் உள்ளது, அதாவது π / 2 <θ 90 π அல்லது 90 ° <θ ≤ 180 °. எனவே, கோணம் சதுரமானது.